M. FARIZ HADIAN (19) - LINGKARAN

A.           Defenisi
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.
Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.

1. Kedudukan garis terhadap lingkaran
Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2 – 4 ac
i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan
ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran
iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2 Jawaban: Hasil subsitusi 10x2 + 13 x +3 = 0 Hasil test diskriminan D = 132 – 14 x 10 x 3 = 169 – 120 = 49 > 0
Kesimpulan:
Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan.

2. Persamaan garis singgung lingkaran
(1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran L

a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r ; X1X + Y1Y= r2
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2)
Jawaban:
Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0

b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r
(x1 - a) (x - a) + (y1-b) ( y - b) = r2
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (-3, 1)
Jawaban: Persamaan garis singgung
( -3 -1) (x – 1) + ( a – 4 )( y – 4 ) = 25
-4 ( x - 1) -3 (y - 4) -25 = 0
-4x + 4 -3x + 12 – 25 = 0
-4x – 3 y – 9 = 0
4x + 3y + 9 = 0 

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9= 0
c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0

3. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m)
i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula
ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m).
Dengan mensubtitusikan x menjadi (x – a) dan y menjadi ( y – b) pada persamaan garis singgung di peroleh:

 Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran
Persamaan lingkaran
1) X2 + y2 = r2
2) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0
Persamaan garis polar
1. x1 x + y1 y = r2
2. (x1 - a) (x - a) + (y1-b) ( y - b) = r2

4. HUBUNGAN DUA LINGKARAN
MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikut
i. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnya
ii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnya
iii. L2 didalam L1 = syaratnya
iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya

Contoh Soal:
1. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut.
a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16)
Jawaban:
PB = 4PA PB2 =16PA2
(0 – x)2 + (16 – y)2 = 16

2. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) dan
Jawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40
(-1)2 + 62 = 3 < 40

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini.
a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9
Jawaban:
a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3

4. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaran
Jawaban:
Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti:
Kr = 32 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= 9 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= n2 – 13 n + 30 = 0
= (n – 10) (n – 3) = 0
= n = 10 atau n = 3

5. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaran
Jawaban:
Hasil subsitusi:
x2 + 2 x - 15 = 0
= (x – 5) (x – 3) = 0
= x1 = -5 atau x2 = 3
Penemuan nilai y
X1 = -5; Y = 2 (-5) = -10
X2 = 3; Y = 2 (3) = 6
Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6)