trigonometri by agnes

Pengertian dan Sejarah Trigonometri


Pengertian Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah Trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

RUMUS- RUMUS TRIGONOMETRI


PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a

SUDUT RANGKAP

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)


a cos x + b sin x = K cos (x-a).

»»  Baca Selengkapnya...

Peluang oleh Dhania Agustina (07)

NOTASI FAKTORIAL DAN PRINSIP DASAR

Notasi Faktorial     n ! = n(n - 1) (n -2) ..................3.2. 1.

Definisi 0! = 1

PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN)

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n₁ cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n₂ cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n₁.n₂ cara yang berlainan.

Contoh:

Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7.

Jawab:

Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan.

5 ratusan

5 puluhan

3 satuan

• Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan.
• Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan. 
• Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.

PERMUTASI

Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc,acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.

Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis ₃P₃ = 6

Secara Umum

Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :

_nP_k = n! / (n-k) !

Contoh:

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Jawab:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

₇P₃ = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

Permutasi Siklis

Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.

Contoh:

Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Jawab:

Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

KOMBINASI

Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya.

_nC_k = n! / k!(n-k)!

Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.

Contoh:

Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.
Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga
a. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.
b. Keempat bola tersebut warnanya lama.

Jawab:

1. Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada ₆C₂ cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada ₅C₂ cara. 
   
   Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: ₆C₂ . ₅C₂ ® = 150 cara.
2. 4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih. 
   Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada ₆C₄ cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada ₅C₆ cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: ₆C₄ + ₅C₄ =15 + 5 = 20 cara.

BINONIUM NEWTON

Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :

(x+y)ⁿ = _nC₀Xⁿ + _nC₁X^n-1y + ....... + _nC_nyⁿ

Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.

_nC_o = 1

_nC₁ = n!/1!(n-1)! = n

_nC₂ = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2

_nC_n-1 = _nC1 = n/1 = n

_nC_n = 1

Catatan:

• banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1
• rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
                    _{n                             n}
  (x+y)ⁿ = å _nC_k x^n-k y^k = å (n! / k! (n-k)!) x^n-k y^{k
                   k=0                         k=0} 
• Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal

PELUANG KEJADIAN

Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.

P(A) = k / n

Dimana

k : jumlah terjadinya kejadian A
n : jumlah seluruh yang mungkin

Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebutRuang Sampel

Contoh:

1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.
    A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.
    Maka :
    S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}
    A = {mmb, bmm}
    n(S) = 2³ = 8
    n(A) = 2
    P(A) = 2/8 = 1/4

2. Percobaan melempar dadu satu kali.
    A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.
    Maka :
    S = {1,2,3,4,5,6}
    A = {2,4,6}
    n(S) = 6
    n(A) = 3
    P(A) = 3/6 = 1/2

Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku 
            _
P(A) + P(A) = 1

Contoh:

Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?

Jawab:

P (King) = 4/52 = 1/13
P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

PELUANG KEJADIAN BEBAS DAN TAK BEBAS

Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika :

P(AÇB) = P(A). P(B)

Contoh:

Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam

Jawab:

Misal 
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II

P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
   _                  _
P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
        _        _         _      _ 
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :

P (AUB) = P(A) + P(B)

Contoh:

Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).

Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
         n(S) - (6)² = 36

A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
     n(A) = 5

B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}
     n(B) = 3

P(A) = 5/36        P(B) = 3/36

AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ® 
       { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
       n(AUB) = 8

P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)

A dan B kejadian yang saling asing.

Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku :

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)

Contoh:

Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =  { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =  {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6

P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)

A dan B kejadian yang tidak saling asing.

»»  Baca Selengkapnya...

Statistika oleh Dhania Agustina (07)

»»  Baca Selengkapnya...

statistika by agnes shelvira herwieany

RINGKASAN STATISTIKA SMA

A. DATA TUNGGAL

UKURAN PEMUSATAN KUMPULAN DATA

1. MEAN (RATAAN)

2. MODUS

Modus dari data x₁, x₂, x₃, ....,x_n didefinisikan sbg nilai datum yang paling sering muncul ( nilai datum yang memiliki frekuensi terbesar

3. MEDIAN (NILAI TENGAH)

Syarat Data harus diurutkan dari terkecil hingga terbesar

a. Jika n Î GANJIL b. JIka n Î GENAP :

UKURAN LETAK KUMPULAN DATA

1. Kuartil Data Tunggal

a. Untuk Q₁ :

a. Jika n Î GANJIL : b. Jika n Î GENAP :

b. Untuk Q₂ : Menggunakan rumus yang sama dengan Mencari Median (baik untuk data berjumlah GANJIL ataupun GENAP):

c. Untuk Q₃ :

a. Jika n Î GANJIL, gunakan : b. Jika n Î GENAP :

2. Statistik Lima Serangkai

3. Desil

Urutan / letak Desil ke- i =

4. Rataan Kuartil (RK) =

5. Rataan Tiga Kuartil =

UKURAN PENYEBARAN KUMPULAN DATA (berlaku pula untuk Data Kelompok)

1. Jangkauan (J) atau Rentang / Range (R) R = X_max - X_min

2. Jangkauan Antar Kuartil (JAK) H = Q₃ – Q₁

3. Simpangan Kuartil / Jangkauan Semi Antar Kuartil (JSAK)

4. Langkah

5. Pagar Dalam dan Pagar Luar

a. Pagar Dalam =

b. Pagar Luar =

a. Jika P_d £ x_i £ P_l maka datanya dinamakan data normal

b. Jika x_i < P_d atau x_{i >} P_l, maka datanya data tidak normal atau disebut pencilan.

6. RAGAM

Ada 3 rumus : (no a biasa kita pakai)

a. b. c.

7. SIMPANGAN BAKU (S)

Adalah Akar kuadrat dari Ragam ! Jadi SImpangan Baku :

Mengubah data berkelompok menjadi distribusi frekuensi :

a. Cari Range (R = data max – data min)

b. Hitung banyak kelas (K) dengan rumus K = 1 + 3,3 log N (N banyak data, log N dilihat di tabel )

c. Cari Interval Kelas dengan rumus I = ^R/_K. (biasanya i = bilangan ganjil)

d. Pilih batas bawah kelas pertama (biasanya data min)

e. Cari frekuensi dengan menggunakan turus.

ISTILAH :

1. Kelas

2. Batas Kelas

Yaitu nilai-nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas (ada Batas bawah, ada Batas atas)

3. Tepi Kelas

Tepi bawah = batas bawah – 0,5

Tepi atas = batas atas + 0,5

4. Panjang Kelas / Interval Kelas= tepi atas – tepi bawah

5. Titik Tengah Kelas / Nilai Tengah Kelas atau Rataan Kelas.

B. DATA KELOMPOK

UKURAN PEMUSATAN KUMPULAN DATA

1. MEAN (RATAAN)

Ada 3 cara :

a. Nilai Tengah : b. Metoda Rataan Sementara :

dengan di mana diambil dari nilai tengah kelas yang frekuensinya terbesar

c. Metoda Coding : dimana p = interval kelas dan

L = tepi bawah kelas modus (memeiliki frekuensi tertinggi) P = interval kelas D1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya D2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

2. MODUS DATA KELOMPOK

dimana :

3. KUARTIL DATA KELOMPOK

Q1 = Kuartil Bawah L1 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil bawah Q1 P = interval kelas fk1 = jumlah frekuensi sebelum kelas Q1 f1 = frekuensi kelas Q1 n = ukuran data (å f)

A. Kuartil Pertama / Kuartil Bawah :

Mencari kelas Q₁ dengan

B. Kuartil Kedua / Kuartil Tengah / MEDIAN

	Q2 = Kuartil Tengah L2 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil bawah Q2 P = interval kelas fk2 = jumlah frekuensi sebelum kelas Q2 f2 = frekuensi kelas Q2 n = ukuran data (å f)

Mencari kelas Q₁ dengan

C. Kuartil Letiga / Kuartil Atas

	Q3 = Kuartil Bawah L3 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil bawah Q3 P = interval kelas fk3 = jumlah frekuensi sebelum kelas Q3 f3 = frekuensi kelas Q3 n = ukuran data (å f)

Mencari kelas Q₃ dengan

Ukuran Penyebaran Kumpulan Data Berkelompok

1. Jangkauan (J) atau Rentang / Range (R) R = X_max - X_min

2. Jangkauan Antar Kuartil (JAK) H = Q₃ – Q₁

3. Simpangan Kuartil / Jangkauan Semi Antar Kuartil (JSAK)

4. Langkah

5. Pagar Dalam dan Pagar Luar

a. Pagar Dalam =

b. Pagar Luar =

6. Ragam(S²) dan Simnpangan Baku (S)

A.

B. Dengan Rataan Sementara :

C. Dengan Metoda Coding :

f(%) = frekuensi relatif. fi = frekuensi kelas ke – i åf = jumlah data

Tabel Distribusi Frekuensi Relatif, Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif, dan Tabel Frekuensi Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif

1. Frekuensi relatif : dengan

2. Frekuensi kumulatif Kurang Dari (fk £ ) menyatakan jumlah frekuensi semua data yang kurang dari atau sama dengan nilai TEPI ATAS tiap kelas

3. Frekuensi kumulatif Lebih Dari (fk ³) menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah pada setiap kelas .

4. Frekuensi Kumulatif relative (f_rk atau fk(%) menyatakan jumlah frekuensi semua data yang kurang dari atau sama dengan yang dinyatakn dalam persen.

fk(%) = frekuensi relatif kumulatif fk = frekuensi kumulatif suatu kelas åf = jumlah data

dengan

»»  Baca Selengkapnya...